Cómo Dividir Radicales

Dividir radicales consiste en calcular el cociente entre dos expresiones que contienen raíces, como \( \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \) o \( \dfrac{5}{\sqrt{3}} \). El objetivo casi siempre es el mismo: dejar el resultado sin ningún radical en el denominador, es decir, con el denominador racionalizado.

Cuando dos radicales tienen el mismo índice \( n \), se pueden combinar en un solo radical usando la regla del cociente:

\( \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \), siempre que \( b \ne 0 \).

Por ejemplo, para dividir \( \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \) se combinan los radicandos: \( \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \).

Esta regla es la operación inversa de multiplicar radicales y funciona igual con raíces cuadradas, cúbicas o de cualquier índice, siempre que ambos radicales compartan el mismo índice. Si necesitas repasar los conceptos básicos de la raíz cuadrada antes de continuar, es un buen punto de partida.

Antes de aplicar la regla del cociente conviene simplificar cada radical por separado. Por ejemplo, en \( \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{8}} \) es más fácil escribir primero \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) y \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \), y luego dividir: \( \dfrac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{5}{2} \). Los radicales iguales se cancelan directamente.

Muchas veces el resultado de una división queda con una raíz en el denominador, como \( \dfrac{4}{\sqrt{5}} \). Para eliminarla, se multiplica el numerador y el denominador por el mismo radical, de modo que el denominador se convierta en un número entero:

\( \dfrac{4}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{5} \).

El siguiente esquema resume los pasos que debes seguir siempre que el denominador tenga un solo término radical.

Cuando el denominador tiene dos términos, como \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \), multiplicar por el mismo radical ya no sirve. En su lugar se usa el conjugado, que cambia solo el signo entre los términos: el conjugado de \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \) es \( \sqrt{a}-\sqrt{b} \).

Al multiplicar un binomio por su conjugado se obtiene una diferencia de cuadrados, lo que elimina los radicales del denominador: \( (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b \).

Por ejemplo, para racionalizar \( \dfrac{2}{\sqrt{3}+1} \), se multiplica por \( \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \): \( \dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \dfrac{2\sqrt{3}-2}{2} = \sqrt{3}-1 \).

La regla del cociente solo se aplica cuando ambos radicales tienen el mismo índice. Si te encuentras dividiendo una raíz cuadrada entre una raíz cúbica, primero conviene escribirlas con exponentes fraccionarios o buscar un índice común. Puedes repasar cómo funciona la raíz cúbica antes de combinar índices diferentes.

Divide y simplifica \( \dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{27}} \).

Paso 1: aplica la regla del cociente: \( \sqrt{\dfrac{75}{27}} \).

Paso 2: simplifica la fracción interior: \( \dfrac{75}{27} = \dfrac{25}{9} \).

Paso 3: separa la raíz del numerador y del denominador: \( \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \dfrac{5}{3} \).

El resultado ya es un número racional, sin radicales, así que no es necesario racionalizar nada más. Cuando el resultado no se simplifica a un número entero, conviene expresarlo como radical mixto; para eso puedes revisar la lección sobre convertir expresiones radicales a expresiones radicales mixtas.

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