Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es un arreglo triangular de números en el que cada fila comienza y termina en 1, y cada número interior se obtiene sumando los dos números que están justo arriba de él. Aunque se le atribuye a Blaise Pascal, esta estructura numérica se usa sobre todo para encontrar rápidamente los coeficientes que aparecen al expandir un binomio elevado a una potencia, como \( (a+b)^n \).

Su utilidad principal en álgebra es evitar multiplicar el binomio una y otra vez: en lugar de eso, basta con leer la fila correcta del triángulo para obtener todos los coeficientes de la expansión.

Para construir el triángulo se sigue una regla muy simple:

1. La fila 0 contiene un único número: 1.
2. Cada fila nueva empieza y termina con 1.
3. Cualquier número interior es la suma de los dos números que están inmediatamente arriba, uno a la izquierda y otro a la derecha.

Por ejemplo, en la fila 3, el número 3 se obtiene sumando el 1 y el 2 de la fila 2 que están justo encima de él. La figura siguiente muestra las primeras siete filas (de la fila 0 a la fila 6) con esta regla marcada en un caso concreto.

La conexión más importante del triángulo con el álgebra es que la fila \(n\) (contando desde 0) contiene, en orden, todos los coeficientes de la expansión de \( (a+b)^n \). Por ejemplo, la fila 4 es 1, 4, 6, 4, 1, así que:

\( (a+b)^4 = 1\,a^4 + 4\,a^3b + 6\,a^2b^2 + 4\,ab^3 + 1\,b^4 \)

Cada entrada de la fila \(n\) también se puede calcular directamente como un coeficiente binomial, sin dibujar todo el triángulo, usando la fórmula:

\( \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \)

donde \(k\) indica la posición dentro de la fila (empezando en \(k=0\)). Esta relación se estudia con más detalle en la lección sobre el teorema del binomio, donde se muestra cómo expandir binomios de cualquier grado.

Expande \( (x+y)^5 \) usando el triángulo de Pascal.

La fila 5 del triángulo es: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Se usan estos números como coeficientes, mientras la potencia de \(x\) baja de 5 a 0 y la potencia de \(y\) sube de 0 a 5:

\( (x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5 \)

Observa que no fue necesario multiplicar el binomio cinco veces: la fila correcta del triángulo dio directamente todos los coeficientes.

Además de su uso en la expansión de binomios, el triángulo de Pascal esconde varios patrones útiles:

• La suma de todos los números de la fila \(n\) siempre es \( 2^n \). Por ejemplo, en la fila 4: \(1+4+6+4+1=16=2^4\).
• El triángulo es simétrico: cada fila se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, lo cual coincide con la simetría de los coeficientes binomiales \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \).
• La segunda diagonal (después de la columna de unos) contiene los números naturales, y la tercera diagonal contiene los números triangulares.

Reconocer estos patrones ayuda a verificar rápidamente si una fila del triángulo se construyó correctamente antes de usarla para expandir un binomio.

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