Crecimiento y Decrecimiento Exponencial por un Factor

En muchas situaciones de la vida real (una poblacion de bacterias que se duplica, una inversion que se multiplica por cierta cantidad cada anio, o una sustancia radiactiva que se reduce a la mitad con el tiempo) una cantidad no cambia sumando siempre lo mismo, sino multiplicandose repetidamente por el mismo numero. Ese numero se llama el factor de crecimiento o de decrecimiento, y este comportamiento se describe con una funcion exponencial.

El modelo basico para el crecimiento y decrecimiento exponencial por un factor es:

\( y = a \cdot b^{x} \)

donde \( a \) es el valor inicial (la cantidad cuando \( x = 0 \)), \( b \) es el factor por el cual se multiplica la cantidad en cada paso, y \( x \) representa el numero de periodos transcurridos (dias, anios, generaciones, etc.).

• Si \( b > 1 \), la cantidad aumenta cada vez mas rapido: es crecimiento exponencial.
• Si \( 0 < b < 1 \), la cantidad se reduce cada vez mas lentamente hacia cero: es decrecimiento exponencial.
• Si \( b < 0 \) o \( b = 1 \), no se trata de un crecimiento o decrecimiento exponencial tipico.

Supon que una poblacion inicial de \( 50 \) organismos se duplica cada periodo. Aqui el valor inicial es \( a = 50 \) y el factor de crecimiento es \( b = 2 \), por lo que el modelo es \( y = 50 \cdot 2^{x} \). Observa como la curva sube cada vez con mayor pendiente conforme \( x \) aumenta.

Para encontrar la poblacion despues de \( 3 \) periodos, sustituimos \( x = 3 \): \( y = 50 \cdot 2^{3} = 50 \cdot 8 = 400 \). Esto confirma que la cantidad se multiplico por el factor \( 2 \) en cada uno de los tres periodos.

Ahora supon que una sustancia de \( 200 \) gramos se reduce a la mitad cada periodo. El valor inicial es \( a = 200 \) y el factor de decrecimiento es \( b = 0.5 \), asi que el modelo es \( y = 200 \cdot (0.5)^{x} \). Nota como la curva desciende rapidamente al inicio y luego se acerca cada vez mas a cero sin llegar a tocarlo.

Despues de \( 4 \) periodos, la cantidad restante es \( y = 200 \cdot (0.5)^{4} = 200 \cdot 0.0625 = 12.5 \) gramos. Este tipo de decrecimiento por mitades es la base del concepto de vida media, que puedes estudiar con mas detalle en Decrecimiento exponencial: La vida media.

Una maquina pierde valor multiplicandose por \( 0.8 \) cada anio, comenzando en \( 5000 \) dolares. Escribe el modelo y calcula su valor despues de \( 3 \) anios.

Primero identificamos \( a = 5000 \) y \( b = 0.8 \), asi que \( y = 5000 \cdot (0.8)^{x} \). Luego sustituimos \( x = 3 \): \( y = 5000 \cdot (0.8)^{3} = 5000 \cdot 0.512 = 2560 \) dolares. Como \( 0 < 0.8 < 1 \), confirmamos que se trata de un decrecimiento exponencial.

Es comun confundir el factor \( b \) con un porcentaje de cambio. Si una cantidad aumenta un \( 25\% \) cada periodo, el factor correspondiente es \( b = 1.25 \), no \( 25 \). De manera similar, si disminuye un \( 25\% \), el factor es \( b = 0.75 \). Si tu problema esta planteado directamente en terminos de porcentaje, es mejor revisar Crecimiento y decrecimiento exponencial por porcentaje, donde se explica esa conversion con mas detalle.

• Multiplicar por el factor solo una vez en lugar de elevarlo a la potencia \( x \).
• Confundir el valor inicial \( a \) con el factor \( b \).
• Olvidar que un factor menor que \( 1 \) representa decrecimiento, no crecimiento negativo.

El crecimiento y decrecimiento exponencial por un factor aparece en el crecimiento de poblaciones, la desintegracion de sustancias radiactivas, y tambien en finanzas, por ejemplo cuando una inversion se multiplica por un factor fijo cada periodo, como se ve en Finanzas: Interes compuesto. Comprender esta idea te prepara ademas para graficar e interpretar estas funciones con mayor profundidad.

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