Regla de la Cadena en Derivadas

La regla de la cadena es el metodo que se usa para derivar funciones compuestas, es decir, funciones que estan formadas por una funcion dentro de otra. Por ejemplo, \( f(x) = (3x^2 + 1)^4 \) es una funcion compuesta porque primero se calcula \( 3x^2 + 1 \) (la funcion interna) y despues ese resultado se eleva a la cuarta potencia (la funcion externa).

Antes de estudiar esta regla conviene tener claro que es una derivada, tema que se explica a fondo en la definicion de derivada, ya que la regla de la cadena parte de esa misma idea de razon de cambio.

Si \( y = f(u) \) y \( u = g(x) \), entonces la derivada de \( y \) respecto a \( x \) es:

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \)

Escrita con notacion de funciones, si \( h(x) = f(g(x)) \), entonces:

\( h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

En palabras simples, se deriva primero la funcion externa dejando la funcion interna sin tocar, y luego se multiplica por la derivada de la funcion interna.

El primer paso siempre es separar la funcion compuesta en dos partes.

• La funcion interna es la expresion que esta "adentro", como dentro de un parentesis, una raiz o un exponente de \( e \).
• La funcion externa es la operacion que se aplica al resultado de la funcion interna, como elevar a una potencia, sacar una raiz, o aplicar seno, coseno o exponencial.

Por ejemplo, en \( \sin(5x) \), la funcion interna es \( 5x \) y la funcion externa es el seno. En \( \sqrt{x^2 + 1} \), la funcion interna es \( x^2 + 1 \) y la funcion externa es la raiz cuadrada.

Deriva \( f(x) = (3x^2 + 1)^4 \).

Funcion externa: \( u^4 \). Funcion interna: \( u = 3x^2 + 1 \).

Derivando la funcion externa (usando la regla de la potencia) se obtiene \( 4u^3 \), y la derivada de la funcion interna es \( 6x \). Multiplicando ambas partes:

\( f'(x) = 4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3 \)

Deriva \( g(x) = \sin(5x) \).

Funcion externa: \( \sin(u) \), cuya derivada es \( \cos(u) \). Funcion interna: \( u = 5x \), cuya derivada es \( 5 \).

\( g'(x) = \cos(5x) \cdot 5 = 5\cos(5x) \)

• Olvidar multiplicar por la derivada de la funcion interna despues de derivar la funcion externa.
• Confundir cual parte es la funcion externa y cual es la funcion interna.
• Aplicar la regla de la cadena cuando en realidad se necesita otra regla, como la de la suma o la resta de funciones simples.

La regla de la cadena rara vez se usa sola. Muchas funciones combinan un producto o un cociente de funciones compuestas, por lo que suele aplicarse junto con la regla del producto o la regla del cociente. Reconocer cuando cada regla se necesita, y en que orden combinarlas, es clave para resolver derivadas mas complejas.

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