Tangente y Concavidad de Ecuaciones Paramétricas

Cuando una curva viene dada en forma parametrica, es decir mediante un par de funciones \( x = x(t) \) y \( y = y(t) \), no podemos derivar \( y \) directamente respecto de \( x \) como en una funcion ordinaria. En su lugar usamos la regla de la cadena a traves del parametro \( t \) para obtener la pendiente de la recta tangente y, con una derivada adicional, el tipo de concavidad de la curva en cada punto. Este tema supone que ya sabes trabajar con ecuaciones parametricas.

Si \( x(t) \) y \( y(t) \) son diferenciables y \( dx/dt \ne 0 \), la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto se calcula con

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \)

Esta formula es simplemente la regla de la cadena escrita al reves: en lugar de derivar \( y \) respecto de \( x \) directamente, derivamos \( y \) y \( x \) por separado respecto de \( t \) y dividimos los resultados. El valor de \( dy/dx \) en un punto particular se obtiene sustituyendo el valor de \( t \) correspondiente a ese punto.

La formula anterior tambien permite localizar los puntos donde la tangente es horizontal o vertical sin resolver la curva para \( y \) en funcion de \( x \):

• Tangente horizontal: ocurre cuando \( dy/dt = 0 \) mientras \( dx/dt \ne 0 \), porque entonces \( dy/dx = 0 \).
• Tangente vertical: ocurre cuando \( dx/dt = 0 \) mientras \( dy/dt \ne 0 \), porque entonces \( dy/dx \) no esta definida (denominador cero).
• Si \( dx/dt = 0 \) y \( dy/dt = 0 \) al mismo tiempo, se debe analizar el limite de \( dy/dx \) para saber que ocurre en ese punto.

Sea la curva \( x(t) = t^2 \), \( y(t) = t^3 \). Entonces \( dx/dt = 2t \) y \( dy/dt = 3t^2 \), por lo que

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2}{2t} = \dfrac{3t}{2} \), para \( t \ne 0 \)

En \( t = 1 \) el punto de la curva es \( (1, 1) \) y la pendiente de la tangente es \( \dfrac{3}{2} \). Al eliminar el parametro (\( t = \sqrt{x} \) para \( x \ge 0 \)) obtenemos la funcion equivalente \( y = x^{3/2} \), cuya grafica muestra exactamente esa pendiente en \( x = 1 \).

Para estudiar la concavidad necesitamos \( d^2y/dx^2 \), pero como \( dy/dx \) ya es una funcion de \( t \), debemos volver a aplicar la regla de la cadena en lugar de derivar directamente respecto de \( x \):

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt} \)

Es decir, se deriva la expresion de \( dy/dx \) (que ya conocemos en funcion de \( t \)) respecto de \( t \), y ese resultado se divide de nuevo entre \( dx/dt \). Nunca se deriva \( dy/dx \) directamente respecto de \( x \).

El signo de \( d^2y/dx^2 \) indica el tipo de concavidad, igual que en una funcion ordinaria: si es positivo la curva es concava hacia arriba, y si es negativo es concava hacia abajo.

Continuando con \( x(t) = t^2 \), \( y(t) = t^3 \), ya sabemos que \( dy/dx = \dfrac{3t}{2} \). Derivando esta expresion respecto de \( t \) obtenemos \( \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{3t}{2}\right) = \dfrac{3}{2} \). Dividiendo entre \( dx/dt = 2t \):

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{3/2}{2t} = \dfrac{3}{4t} \)

En \( t = 1 \), \( d^2y/dx^2 = \dfrac{3}{4} > 0 \), asi que la curva es concava hacia arriba en el punto \( (1, 1) \). Para \( t < 0 \) el signo cambia y la curva pasa a ser concava hacia abajo, lo cual coincide con la forma de la grafica de \( y = x^{3/2} \).

Para cualquier curva parametrica conviene seguir estos pasos:

• Calcular \( dx/dt \) y \( dy/dt \) por separado.
• Formar \( dy/dx = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} \) y simplificar en terminos de \( t \).
• Si se necesita la concavidad, derivar esa expresion de \( dy/dx \) respecto de \( t \) y dividir de nuevo entre \( dx/dt \).
• Sustituir el valor de \( t \) del punto de interes para obtener numeros concretos.

Esta misma idea de derivar respecto de un parametro auxiliar reaparece cuando se estudian las tangentes de curvas polares, y las tecnicas de derivacion parametrica tambien son la base para calcular el area de ecuaciones parametricas.

Related lessons

• Es Calculus Help