Integración numérica

Hay tres maneras de estimar el valor de una integral definida con subintervalos $n$:

1. La regla del punto medio
2. La regla del trapecio
3. La regla de Simpson

$M_{n} = \int^b_a f(x)dx \approx \Delta x[f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n-1})+f(x_{n})]$

Donde $x_{i}$ es el punto medio de cada intervalo.

La regla del Trapecio:

$T_{n} = \int^b_a f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{2} [f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+...+2f(x_{n-1})+f(x_{n})]$

La regla de Simpson:

$S_{n} = \int^b_a f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+...+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})]$

Si $f''$ es continua en [$a, b$] y existe un valor $M$ tal que $|f''(x)| \leq M$ para toda $x \in [a, b]$, entonces podemos utilizar las siguientes fórmulas para calcular el error en las reglas del punto medio y del trapecio:

1. Fórmula del error en la Regla del Punto Medio:
   $E_{M} \leq \frac{M(b-a)^{3}}{24n^{2}}$


2. Fórmula del error en la Regla del Trapecio:
   $E_{T} \leq \frac{M(b-a)^{3}}{12n^{2}}$

Si $f^{(4)} (x)$ es continua en $[a, b]$ y existe un valor $K$ tal que $|f^{(4)} (x)| \leq K$ para toda $x \in [a, b]$, entonces podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular el error en la regla de Simpson:



3. Fórmula del error en la Regla de Simpson:
   $E_{S} \leq \frac{K(b-a)^{5}}{180n^{4}}$

$x_{i} = a + i\Delta x$

Donde $x_{i}$ es el punto de interés en $i$.