Definición de la Derivada

La derivada de una función mide qué tan rápido cambia el valor de esa función cuando su variable de entrada cambia. Antes de aprender reglas rápidas para derivar, es fundamental entender de dónde viene esa idea: la derivada se construye a partir de un límite, específicamente del límite del cociente incremental. Esta es la base que sostiene todas las técnicas de derivación que verás más adelante.

Dada una función \( f(x) \), la derivada de \( f \) en un punto \( x \) se define como:

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

Esta expresión se conoce como el cociente incremental. El numerador \( f(x+h) - f(x) \) representa cuánto cambia el valor de la función, y el denominador \( h \) representa cuánto cambia la variable \( x \). Cuando \( h \) se acerca a cero, este cociente se acerca al valor de la pendiente instantánea de la función en ese punto.

Geométricamente, el cociente \( \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \) es la pendiente de una recta secante que une los puntos \( (x, f(x)) \) y \( (x+h, f(x+h)) \) sobre la curva. A medida que \( h \) tiende a cero, el segundo punto se acerca cada vez más al primero, y la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en ese punto. Por eso decimos que la derivada es la pendiente de la línea tangente en \( x \). Si quieres profundizar en esta relación, revisa la pendiente y la ecuación de la línea tangente.

Para aplicar la definición correctamente, sigue estos pasos:

1. Escribe \( f(x+h) \) sustituyendo \( x \) por \( x+h \) en la función original.
2. Calcula la diferencia \( f(x+h) - f(x) \) y simplifícala algebraicamente.
3. Divide el resultado entre \( h \) y simplifica de nuevo, cancelando el factor \( h \) del denominador si es posible.
4. Evalúa el límite cuando \( h \to 0 \) en la expresión ya simplificada.

El paso de simplificación antes de evaluar el límite es esencial, porque al sustituir \( h = 0 \) directamente en el cociente original obtendrías la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \).

Encuentra la derivada de \( f(x) = x^2 \) usando la definición.

Primero, sustituimos en la fórmula:

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} \)

Expandimos \( (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \), así que el numerador queda:

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h} \)

Factorizamos \( h \) en el numerador y lo cancelamos con el denominador:

\( f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) \)

Ahora sí podemos evaluar el límite sustituyendo \( h = 0 \):

\( f'(x) = 2x \)

Este resultado coincide con lo que obtendrías al aplicar la regla de la potencia, pero aquí lo hemos demostrado desde la definición misma, sin atajos.

Existen varias formas de escribir la derivada de \( y = f(x) \), y todas representan la misma idea:

Aunque en la práctica usarás reglas más rápidas como la regla de la cadena para derivar funciones compuestas, todas esas reglas se derivan originalmente a partir de este límite. Entender la definición formal te permite comprender por qué funcionan las reglas de derivación, reconocer cuándo una función no es derivable en un punto, y resolver problemas donde las reglas rápidas todavía no aplican directamente.

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