Área de ecuaciones paramétricas

Sabemos que el área bajo la curva de $a \,$ a $\, b$ se obtiene con $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$. ¿Pero qué hacemos cuando tenemos ecuaciones paramétricas?

Si la curva se define con las ecuaciones paramétricas: $x=f(t) \,$, y $\, y=g(t) \,$ y el valor de $t$ va incrementando de $\alpha \,$ a $\, \beta$, entonces el área bajo la curva paramétrica es:

$\large A = \int_{a}^{b} y \; dx=\int_{\alpha}^{\beta} g(t)f'(t)dt$

Pero si el valor de $t$ va incrementando de $\beta \,$ a $\, \alpha$ entonces el área bajo la curva paramétrica es:

$\large A = \int_{a}^{b} y \; dx=\int_{\beta}^{\alpha} g(t)f'(t)dt$
Así que asegúrate de saber cuál de las dos ecuaciones usar.