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Longitud de arco y área de la superficie de ecuaciones paramétricas

Now Playing:Es arc length and surface area of parametric equations – Example 1a
Examples
  1. Longitud de la curva
    Encuentra la longitud de la curva de cada set de ecuaciones paramétricas
    1. x=et sen t x=e^t \, sen \, t
      y=etcos⁡ty=e^t \cos t
      donde  0≤t≤2π\, 0 \leq t \leq 2\pi

    2. x=cos⁡(θ) x=\cos (\theta)
      y= sen(θ)y= \, sen (\theta)
      donde  0≤θ≤π\, 0 \leq \theta \leq \pi

Definiendo curvas con ecuaciones paramétricas
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Notes
Si la curva está definida por las ecuaciones paramétricas:  x=f(t)\, x=f(t), y=g(t) y=g(t) \, y el valor de  t \, t \, está incrementando de  α \, \alpha \, a  β\, \beta, entonces podemos decir que la fórmula para la longitud de la curva paramétrica es:
L=∫αβ(dxdt)2+(dydt)2 dt\large L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} \, dt

Y la fórmula para encontrar el área de la superficie es muy similar.

Si la curva está rotando con respecto de eje  x \, x \, , donde  f′,g′  \, f', g' \, son continuas y  g(t)≥0 \, g(t) \geq 0 \, , entonces la fórmula para el área de la superficie de la curva es:

SA=∫αβ2πy(dxdt)2+(dydt)2 dt\large SA=\int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} \, dt