Longitud de Arco en Cálculo de Ecuaciones Paramétricas

Cuando una curva está descrita por ecuaciones paramétricas \( x = x(t) \) y \( y = y(t) \) para \( t \) en un intervalo \([a, b]\), podemos medir la distancia total recorrida a lo largo de la curva sin necesidad de despejar \( y \) en función de \( x \). Este proceso se apoya en las ideas de definir curvas con ecuaciones paramétricas, ya que primero debes conocer bien cómo se generan estas curvas antes de medir su longitud.

Si \( x(t) \) y \( y(t) \) tienen derivadas continuas en \([a, b]\) y la curva no se repite en ese intervalo, la longitud de arco se calcula con:

\( L = \int_a^b \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\, dt \)

Esta fórmula viene del teorema de Pitágoras aplicado a desplazamientos infinitesimales: en cada instante, el punto se mueve \( dx \) horizontalmente y \( dy \) verticalmente, y la distancia recorrida es \( \sqrt{dx^2 + dy^2} \). Al dividir y multiplicar por \( dt \), obtenemos la expresión anterior. Este mismo tipo de razón de cambio aparece al estudiar la tangente y concavidad de ecuaciones paramétricas, donde \( \dfrac{dy}{dx} \) se obtiene dividiendo \( \dfrac{dy}{dt} \) entre \( \dfrac{dx}{dt} \).

Considera la circunferencia de radio 3 dada por \( x(t) = 3\cos t \), \( y(t) = 3\sin t \), con \( t \) en \([0, 2\pi]\).

Primero calculamos las derivadas: \( \dfrac{dx}{dt} = -3\sin t \) y \( \dfrac{dy}{dt} = 3\cos t \). Entonces:

\( \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} = \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t} = \sqrt{9} = 3 \)

Por lo tanto:

\( L = \int_0^{2\pi} 3\, dt = 3(2\pi - 0) = 6\pi \)

Este resultado coincide con la fórmula conocida del perímetro de una circunferencia, \( 2\pi r = 2\pi(3) = 6\pi \). La siguiente figura muestra la mitad superior de esta circunferencia, que corresponde a \( t \) entre 0 y \( \pi \).

Si giramos la curva \( (x(t), y(t)) \) alrededor del eje x, con \( y(t) \ge 0 \) en todo el intervalo \([a, b]\), se genera una superficie de revolución. Su área se calcula con:

\( S = \int_a^b 2\pi\, y(t) \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\, dt \)

Esta fórmula combina la circunferencia de cada anillo circular, \( 2\pi y(t) \), con el elemento de longitud de arco de la sección anterior. Si en cambio giras la curva alrededor del eje y, con \( x(t) \ge 0 \), sustituye \( y(t) \) por \( x(t) \) en la fórmula.

Usemos otra vez \( x(t) = 3\cos t \), \( y(t) = 3\sin t \), pero ahora con \( t \) en \([0, \pi]\), y giremos esta mitad superior alrededor del eje x. El sólido generado es una esfera de radio 3.

Ya sabemos que \( \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} = 3 \), así que:

\( S = \int_0^{\pi} 2\pi (3\sin t)(3)\, dt = 18\pi \int_0^{\pi} \sin t\, dt \)

\( = 18\pi \left[-\cos t\right]_0^{\pi} = 18\pi (1 - (-1)) = 36\pi \)

Este resultado coincide con la fórmula del área de una esfera, \( 4\pi r^2 = 4\pi(3)^2 = 36\pi \).

Ten en cuenta lo siguiente al resolver estos problemas:

Verifica que la curva no se recorra más de una vez dentro del intervalo \([a, b]\), pues eso duplicaría la longitud calculada. Comprueba que \( y(t) \ge 0 \) (o \( x(t) \ge 0 \), según el eje de rotación) en todo el intervalo antes de aplicar la fórmula de área de superficie, ya que un valor negativo daría un resultado incorrecto. No confundas esta integral con la que se usa para calcular el área bajo una curva paramétrica, que mide una región plana en lugar de la superficie de un sólido de revolución. Por último, simplifica siempre la expresión bajo la raíz antes de integrar; muchas veces una identidad trigonométrica reduce el trabajo de manera considerable.

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