Sistemas de Ecuaciones de 3 Variables sin Solución o con Infinitas Soluciones

Cuando resuelves un sistema de ecuaciones lineales con 3 variables, no siempre obtienes un único valor para \(x\), \(y\) y \(z\). A veces el sistema no tiene solución y a veces tiene infinitas soluciones. Reconocer estos dos casos especiales es tan importante como saber resolver el sistema cuando sí existe una solución única.

Cada ecuación lineal con 3 variables representa un plano en el espacio. Un sistema de tres ecuaciones puede comportarse de tres maneras:

• Los tres planos se cruzan en un solo punto: el sistema tiene una solución única.
• Los planos no comparten ningún punto en común: el sistema no tiene solución.
• Los planos comparten toda una recta (o coinciden por completo): el sistema tiene infinitas soluciones.

Ya viste esta misma idea con sistemas de 2 variables al determinar el número de soluciones de ecuaciones lineales. Con 3 variables el razonamiento algebraico es igual, solo que trabajas con un tercer plano en lugar de una tercera recta.

La forma más confiable de detectar estos dos casos especiales es usar el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones. La idea es combinar pares de ecuaciones para eliminar una variable a la vez, hasta quedarte con una sola ecuación. Lo nuevo aquí es interpretar qué significa cuando esa ecuación final resulta ser siempre falsa o siempre verdadera.

Si al combinar dos ecuaciones obtienes una afirmación falsa, como \( 0 = 5 \), el sistema no tiene solución sin importar qué digan las demás ecuaciones. Esto ocurre porque al menos dos de los planos son paralelos y nunca se cruzan.

Considera el sistema:

\( x + y + z = 4 \)
\( 2x + 2y + 2z = 9 \)
\( x - y + z = 1 \)

Multiplica la primera ecuación por 2:

\( 2x + 2y + 2z = 8 \)

Ahora réstala de la segunda ecuación original:

\( (2x + 2y + 2z) - (2x + 2y + 2z) = 9 - 8 \)

\( 0 = 1 \)

Como \( 0 = 1 \) es falso, este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución, sin necesidad de usar la tercera ecuación. Los dos primeros planos son paralelos entre sí.

Si al combinar ecuaciones obtienes una identidad, como \( 0 = 0 \), esa ecuación no aporta información nueva. Cuando esto sucede, el sistema tiene infinitas soluciones, porque los planos involucrados comparten toda una recta de puntos en común.

Considera este sistema:

\( x + y + z = 6 \)
\( 2x + 2y + 2z = 12 \)
\( x - y + z = 2 \)

Multiplica la primera ecuación por 2:

\( 2x + 2y + 2z = 12 \)

Esto es exactamente igual a la segunda ecuación, así que al restarlas obtienes \( 0 = 0 \). La segunda ecuación es dependiente de la primera y no agrega información nueva.

Trabaja entonces solo con la primera y la tercera ecuación. Réstalas para eliminar \(x\) y \(z\):

\( (x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2 \)

\( 2y = 4 \)

\( y = 2 \)

Sustituyendo, \( x + z = 4 \). Como quedó una ecuación con dos incógnitas, puedes elegir libremente el valor de una de ellas. Sea \( z = t \), entonces \( x = 4 - t \), para cualquier número real \(t\). La solución completa es:

\( (x, y, z) = (4 - t,\ 2,\ t) \)

Este sistema tiene infinitas soluciones, una por cada valor que elijas para \(t\).

Puedes relacionar estos resultados con lo que ya sabes al resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico en dos variables. En 3 variables, en lugar de rectas, imagina planos vistos de canto.

Antes de concluir que un sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones, revisa tu eliminación con cuidado: un pequeño error de signo puede hacer que confundas una ecuación falsa con una identidad. El mismo cuidado algebraico que usas al resolver números desconocidos con ecuaciones lineales te ayudará a evitar esos errores aquí.

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