Combinación de ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares
En esta lección aprenderás a combinar las condiciones de pendiente de rectas paralelas (m1 = m2) y perpendiculares (m1 por m2 = -1) para resolver problemas que exigen ambas ideas a la vez, desde encontrar ecuaciones que pasan por un punto dado hasta clasificar la relación entre dos rectas.
Repaso rápido: pendientes paralelas y perpendiculares
Antes de combinar ambas ideas, recordemos las dos condiciones clave sobre pendientes. Si dos rectas tienen pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \):
Son paralelas si \( m_1 = m_2 \) (misma inclinación, nunca se cruzan).
Son perpendiculares si \( m_1 \cdot m_2 = -1 \), es decir, una pendiente es la reciproca negativa de la otra.
Cómo combinar ambas condiciones en un mismo problema
Muchos ejercicios de examen no piden solo una recta paralela o solo una perpendicular: piden ambas a partir de la misma recta original y, muchas veces, del mismo punto. El procedimiento general es:
Escribe la recta dada en la forma \( y = mx + b \) para identificar su pendiente \( m \).
Para la recta paralela, usa la misma pendiente \( m \) junto con el punto dado.
Para la recta perpendicular, calcula la pendiente reciproca negativa \( -\frac{1}{m} \) junto con el mismo punto (u otro punto indicado).
Sustituye en la forma punto-pendiente \( y - y_1 = m(x - x_1) \) y simplifica cada ecuación por separado.
Ejemplo resuelto
Sea la recta \( L: y = 3x + 2 \) y el punto \( P(0, 0) \), que no pertenece a \( L \) (ya que \( 3(0)+2=2 \ne 0 \)). Encuentra la ecuación de la recta paralela a \( L \) que pasa por \( P \), y también la ecuación de la recta perpendicular a \( L \) que pasa por \( P \).
Paralela: la pendiente de \( L \) es \( m = 3 \), así que usamos la misma pendiente:
\( y - 0 = 3(x - 0) \) → \( y = 3x \)
La recta \( y = 3x \) conserva la pendiente 3 de la recta original y pasa por \( P(0,0) \).
Perpendicular: la pendiente reciproca negativa de 3 es \( -\frac{1}{3} \):
\( y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0) \) → \( y = -\frac{1}{3}x \)
La recta \( y = -\frac{1}{3}x \) tiene pendiente opuesta reciproca a 3 y también pasa por \( P(0,0) \).
Nota que ambas ecuaciones comparten el punto \( P \), pero una conserva la inclinación de \( L \) y la otra la cruza en ángulo recto.
Clasificar dos rectas dadas: ¿paralelas, perpendiculares o ninguna?
Otro tipo de problema combinado te da dos ecuaciones ya escritas y te pide decidir su relación. Primero conviertes cada una a la forma \( y = mx + b \), como se explica en introducción a ecuaciones lineales, y luego comparas las pendientes con la siguiente tabla.
Relación
Condición sobre pendientes
Ejemplo
Paralelas
\( m_1 = m_2 \)
\( y=2x+1 \) y \( y=2x-3 \)
Perpendiculares
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
\( y=2x+1 \) y \( y=-\frac{1}{2}x+4 \)
Ninguna de las dos
\( m_1 \ne m_2 \) y \( m_1 \cdot m_2 \ne -1 \)
\( y=2x+1 \) y \( y=5x-2 \)
Por ejemplo, para las rectas \( 2x + 4y = 8 \) y \( 8x - 4y = 12 \), despejamos \( y \) en cada una: \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \) y \( y = 2x - 3 \). El producto de pendientes es \( \left(-\frac{1}{2}\right)(2) = -1 \), así que son perpendiculares.
Errores comunes al combinar ambas condiciones
Olvidar despejar \( y \) antes de comparar pendientes cuando la ecuación está en forma general.
Confundir la condición perpendicular \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) con simplemente invertir la pendiente sin cambiar el signo.
Usar la pendiente de la recta paralela en la fórmula de la recta perpendicular, o viceversa, por trabajar ambos casos al mismo tiempo.
No verificar casos especiales como líneas horizontales o verticales, revisados en las lecciones de líneas horizontales y líneas verticales, donde la pendiente no sigue la fórmula habitual.